吴文俊：对中国传统数学的再认识
吴文俊：我国古代测望之学重差理论评价——兼谈数学史研究中某些方法问题（摘自《科技史文集》（第8辑），上海科技出版社，1982年；《吴文俊全集》数学史卷，科学出版社出版（2019））《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》一文曾指出：“代数学无可争辩地是中国的创造……中国的劳动人民实质上达到了整个实数系统的完成，特别是有了完美的十进位置制的计数法……这一创造对世界文化的贡献之大，也可以与（四大发明）相媲美的。”与希腊欧几里得几何的形数割裂者恰恰相反，我国在数学发展过程中自始至终是把空间形式与数量关系融合在一起的，因而数系统的建立与臻于完备，以及代数学的发生发展，也始终与几何学的发展贯穿在一起。到宋元之世天元——也即未知数概念的明确引入，代数式与其代数运算的阐明，以及几何代数化方法的逐渐成熟，更为解析几何的创立开辟了道路，诚如上篇文中所说：“到宋元之世，已经具备了西欧17世纪发明微积分前夕的许多条件，不妨说我们已经接近了微积分的大门。”17世纪解析几何与微积分的创立是数学史的大事，解析几何的诞生一般认为应归功于笛卡儿，但是笛卡儿一无坐标系统，二无正负线段。……
在同一时期，由利玛窦授李之藻演的《同文算指》（1614）之“四叠借互征法”为利玛窦所据以翻译的Clavius即所谓丁先生原著所无，而显然取意于《九章算术》方程章。与《同文算指》其他部分相较，水平高下极为显著。同样，后来的《测量全书》也提到阳马等《九章算术》中的专有名词而不及《九章算术》。说这些我国古代的文化遗产，不因利玛窦等传教士的“传授”而流入西方，也将是不可思议的事。 吴文俊《从<数书九章>看中国传统数学构造性与机械化》（《秦九韶与数书九章》（吴文俊主编），北师大1987）斯特洛伊克《数学简史》中的一段议论：“一切古代东方数学中没有任何地方是足以使我们发现我们所谓证明的任何企图，从未用过推理，而仅仅是列出某些规则来：如此做，做这个。对于我们这些被欧几里得的严格推理所教育的人，这整个的东方思考方法在最初似乎是惊异又高度不满的。但是当我们认识到讲授给我们今天的工程师们和技术人员们的数学大部仍是“如此做，做这个”的方式，而很少有严格的证明企图时，这种惊异就会消灭了。”正如席泽宗提出的所谓欧式几何与伽利略物理学并无关联一样，吴文俊以笛卡尔的《方法》为例，指出17-18世纪的大量西方数学著作也没有欧几里得的格式。正如李继闵所说“我国古代数学往往寓理于算，不证自明”，因为它们是从实践中总结出来的，也是经受实践检验的。吴文俊还指出《几何原本》本身存在很多逻辑弊病：“这在19世纪数学批判性浪潮中已多所指摘。Hilbert、《几何基础》的作者已指出，欧几里得的证明方式是不可能达到应有的严密程度的，而且是几乎无可挽救的”。“我国古代数学并没有演绎形式，……其成果远非同时期世界其他地区的数学可比……数学的内容实质才是主要的一面。”。席泽宗：《九章算术》、《几何原本》及其他（“《九章算术》暨刘徽学术思想国际研讨会”上的发言（在吴文俊的支持下举办））提到：“一般认为近代科学的奠基者是伽利略，伽利略的物理研究或力学研究主要是用代数方法，而不是欧几里得的几何方法。这部书在1000多年以前就有了，为什么到十六七世纪的时候近代科学才诞生，应该在当时找原因，不应当在1000多年以前找原因……古希腊的东西几乎被吹得玄乎又玄……都是经过文艺复兴以来好几百年的后人加工整理。”席泽宗进而指出，欧几里得《几何》的最早版本据称是梵蒂冈图书馆所藏的公元10世纪的希腊文抄本，而且这个书不但是文艺复兴时在编，一直到19世纪末还不断在改编另一方面该书的早期版本是没有图的，图是后来的人加上去的，“一部讲几何学的书而没有图，这书是什么样子”。与之相比，成书于263年的刘徽的《九章算术注》，则是一次成型，而且如吴文俊所指，《九章算术》有西方数学的未尽之意，对现代数学仍有借鉴作用。 中国古算与实数系统摘自《科学》，2003年3月；《吴文俊全集》数学史卷，科学出版社出版（2019）） 实数是现代数学的基石，西方要到19世纪后期才真正建立系统……事实上，早在1950年代，华罗庚在中国科技大学讲授微积分时，就都以中国古代数学为基础讲授理论，笔者在1975年时也曾指出：“中国的劳动人民, 在长期的实践过程中, 创造与发展了从记数、分数、小数、正负数以及无限逼近任一实数的方法, 实质上达到了整个实数系统的完成. ” 在几何直观上看，曲面与平面都是绵续无间的，因此这种交点必然存在，实数系统要到19世纪下半叶才真正建立，因此严格说来，所谓第一曲面和固定曲面都到处是“窟窿”…… 微积分和分析学一方面取得巨大成功，另一方面又谬论迭出，形成了所谓数学的第二次危机。到19世纪时，数学家愈来愈认识到，危机的出现是源于古希腊的“形数脱节”。 吴文俊：对中国传统数学的再认识来源 | 本文摘自《百科知识》，1980年第7、8期；《吴文俊全集》数学史卷，科学出版社出版（2019）(一)中国传统数学源远流长，贡献巨大，对数学的发展有不可磨灭的作用，但自宋元时期出现最后一次高峰后，明代以来即趋衰微，至明末已几成绝学。从明清以至今日，实质上已退出了数学舞台。历代中外算家，也曾尝试阐释幸存至今的中国经典算书，但一些抱着轻蔑成见妄加诋毁者姑置不论，即使出于善意克服古文字的阻碍而从事认真钻研的学者，也往往或拘泥于西方数学的先入之见，或着眼于以现代的数学方法与成就理解古人著作，以西释中，以今议古，致使面目全非，掩盖甚至歪曲了中国传统数学的真实面目。试举数例如下。……欧几里得几何中平行线公设的独立性一直是西方数学家们所关注的问题，也是几何发展的一个重要动力，19世纪时终于摆脱了这一公设，创立了非欧几何等领域。与之相反，我国传统数学中从来就没有平行线概念的明显痕迹。但我们不能因此就认为中国古时没有几何学。16世纪以来，西方出现了以符号代表数字的作法，到19世纪发展起遵守各种运算规律的不同代数系统。对于方程，则阐明了根与系数间的关系，证明了必有复数解的代数基本定理，建立了能否用系数根式表达式求解的Galois理论。与之相反，我国古时未曾出现过用文字代表数字以及讨论根的性质一类工作。但我们不能因此就认为我国古时没有代数学。因此，要真正了解中国的传统数学，首先必须撇开西方数学的先入之见，直接依据目前我们所能掌握的我国固有数学原始资料，设法分析与复原我国古时所用的思维方式与方法，才有可能认识它的真实面目。这一尝试自然并非易事。首先是资料问题，我国古籍散失者多而幸存者少。我国最重要的经典算书是《九章算术》，按钱宝琮说这最迟是在公元50至100年间的汉代定型成书。较之稍早见之于《汉书》本来还有许商、杜宗等算术，但只存其名。5世纪南北朝祖冲之的《缀术》是一部名著，唐时被列为《算经十书》之一，为国子监算学生所必读，后终因难学而废黜，至宋元时即已失传而不详其内容。宋元时期曾刊行过大量算书，但杨辉的某些著作只剩残卷。朱世杰的《算学启蒙》在我国本土已经绝迹而于19世纪初复得之于朝鲜。在杨辉、李冶、朱世杰的著作中曾提到过的当时的许多算书，更久已荡然无存。虽然如此，尽管古籍存者不多，但它们还是提供了一个足够清晰的轮廓，足以使人们看出我国传统数学固有的体系、方法与内容，以及一条相当清晰的发展途径。近年来，国内外学者对此论者颇多，笔者将随意引用他们的研究成果，但文中所表述的各种观点，则概由笔者本人负其全责。 中国传统数学的体系西方的欧几里得体系着重抽象概念与逻辑思维以及概念与概念之间的逻辑关系。与之相反，我国的传统数学则基本上是一种从实际问题出发，经过分析提高而提炼出一般的原理、原则与方法以最终达到解决一大类问题的体系。与欧几里得体系相适应，它有一个以定义、公理、定理、证明所构成的表达形式。同样，我国的传统数学与它的独特体系相适应，也有一种独特的表达方式。大体说来，中国数学的经典著作大都以依据不同方法或不同类型分成章节的问题集的形式出现。每一个别问题又都分成若干个条目。条一是“问”，提出有具体数值的问题。条目二是“答”，给出这一问题的具体数值答案。条目三称为“术”，一般说来乃是解答与条目一同种类型问题的普遍方法，实际上就相当于现在计算机科学中的“算法”，但有时也相当于一个公式或一个定理。条目四是“注”。说明“术”的依据与理由，实质上相当于一种证明。宋元以来，可能是由于印刷术的发达，往往加上条目五“草”，记述依据“术”得出答案的详细计算过程。这里应该特别提出条目三“术”的作用。虽然条目一、二中的问与答都以具体数值表达，有时甚至术文本身也是如此，但不难看出所有术文都具有普遍意义。术文中即使带有具体数值，这些数值并不起重要作用。如果以其他同类型的数值来代替，术文也依然行之有效。条目四的“注”或即证明也是如此。论证的正确性完全不依赖于原设数值的特殊性。例如，《九章算术》第九章勾股的第一、二、三的三个问题，都是以勾三、股四、弦五为例，知其二求其第三者。求法名为勾股术，术文说：“句、股各自乘，并而开方除之，即弦。”显然，这是从勾股求弦的一般方法，与具体数值三、四、五无关。勾股术的注或即证明也是如此。因此，问、答甚或术文中的具体数值只起着一种举例说明作用，同时也指出了术即一般方法的来历与动机。西方古代数学中也并非没有以问题集形式出现的著作。值得一提的是，推测出现于3世纪的《丢番图集》一书。这本书也是以问题集的形式出现的，分成6卷，其中搜集了189个关于整数的问题。它是西方近代数论的源泉。所谓费马大问题，即是因17世纪时费马在该书边缘上写下了一个注解，但有关问题迄今未能解决而得名。丢番图一书不含有任何一般的方法。它所包罗的189个问题中所出现的特殊数字是有特殊作用的，每一个问题要用只适用于它自身特殊数字的特殊而往往又很奇特的办法，来求得其答案。因此，19世纪德国著名的数学史家汉克尔(H.Hankel)在他的名著《上古与中古时期数学史》一书中曾经这样评论丢番图这本书：“在研究了丢番图100个解答以后，对于第101个问题依然无所措手。”所论或许失之过苛，但不论如何，丢番图一类的问题集，与中国古时以追求普遍适用于解决一大类问题的一般方法为主的问题集相比，是不能相提并论的。 实数系统的建立实际问题的解答通常需要通过数量来表达。因此，达到这一目标的先决条件是要有一个良好的数系统以及简易的运算工具与运算法则。首先是一个可以表达任意大整数的方法。中国远古时就为此而创立了完善的10进位值制。世界古时各个民族，都有不同形式不同程度的进位制记数法，如巴比伦的60进位制、埃及与希腊的10进制以及中美与南美马雅民族的20进位制等。但是，它们的进位制有时是不完全的，更谈不上位值制。至于印度，至少在6世纪以前，其以位值制表达的记数方法，即使是个别数字也还没有发现过。当时的记数方法是杂乱无章荒谬绝伦的，不妨参阅印人Datta-Singer的《印度数学史》以及范德瓦尔登(Van der Waerden)《科学的觉醒》等著作。没有一个象样的进位制或即使有但没有完善的位值制，则哪怕是简单的算术运算也是难以完成的。要在这样的基础上建立数学大厦，就更是匪夷所思了。在我国，由于古黄河流域气候温暖，遍地多竹，人们可就地取材，采取以竹为筹，置筹于盘来进行各种运算。在盘上，不同位置的同型算筹不仅代表某一绝对数值，而且还代表不同的位置数值，由此从10进制进化为具有位值的10进位位值制记数法是颇为自然的。在这种记数法中，自然出现以空格表零的法则，这与后世书写方式中印度之以“。”或“·”、我国之以“口”和马雅民族之以眼形符号表示零者并无实质上之不同。早在《九章算术》中已经有开平、立方根的算法，其中位值制以及空位作零的作用极为明显，更不用说其他算术运算了。正是由于这种位值制的发明，才使古时中国的数学有可能蓬勃发展，为至少从秦汉至宋元一千数百年间数学的繁荣奠定了基础。位值制的数字表示方法极其简单，因而也掩盖了它的伟大业绩。它的重要作用与重要意义，非但为一般人们所不了解，甚至众多数学专家对它的重要性也熟视无睹。而法国的数学家拉普拉斯则独具慧眼，提出算术应在一切有用的发明中列于首位。中华民族是这一发明当之无愧独一无二的发明者。这一发明对人类文化贡献之巨，纵然不能与火的发明相比，至少是可与文化史上我国四大发明相媲美的。中华民族应以出现这一发明而引以自豪。在整数位值制表达的基础上，我国又逐步扩大数的系统。《九章算术》在方田第一章与少广第四章中详细叙述了分数各种运算与大小比较的法则。在方程第八章中则引进了负数。同在少广章中，又叙述了非位值制无从进行的开平、立方法的详细步骤。在开方不尽时，则附加一分数以为其余，即所谓命分。刘徽在《九章注》中，对开方不尽以及求圆周率的问题提出以10进小数逼近的想法。遗憾的是，在刘徽以后的数百年间，这一重要主张未为学者们所认识。但至宋元之际，这种正负10进小数已被普遍使用。而在欧洲，则直至1584年才由斯蒂文(S.Stevin)(1548-1620)引入10进位小数，又迟至18世纪才获得通行，并被认为是进位值制之后的又一重大创造。至于西方数学史家历来把这些都归之于印度的发明，则自然是张冠李戴了，这是一种历史性的错误，在此不能不辩。整数位值制的建立，负数以及分数与小数的引入，使整个实数系统得以完满地完成。而有无实数无理数之类的概念与名称，则是另一问题。对于实数的现代认识，本来还是19世纪中叶才有的事。完善而使用方便的数系统，创造了十分优越的条件，使我国的传统数学一千数百年间大放异彩。 数论的辉煌成就中国从来没有素数与分解因子的概念，但这并不妨碍我国以自己独有的方式发展数论。中国虽没有素数与分解因子的概念，但有最大公因子的概念及其求法。只是当时称两数的最大公因子为“等”，求法是“以少减多，更相减损，求其等也”。这一方法见于《九章算术》方田章的约分术并不是偶然的。现代为了求分数之和而先通分时，往往先将诸分母分解成素因子的乘积，但是分解因子在整数较大时并非易事，相反求“等”即求两数的最大公因子则要容易得多。《九章算术》少广术就避开了分解因子这一步，巧妙地只利用求等得出了分数之和，这比现行方法要简便许多。勾股形(即直角三角形)的三边何时成整数比，自然是数论中颇具代表性的问题。《九章算术》勾股第九章中出现这样可能的分数比有8组之多。由求等法容易化分数比成整数比，即刘徽《九章注》中所谓“如是或有分，当通而约之乃定”。出现这样多的整数比决非偶然，事实上勾股章已提出了构造这种比的一般方法与一般公式，刘徽《九章注》中还给出了公式的几何证明。至于中国以外，则上述问题最早是在12世纪也以分数比的形式出现于印度婆什迦罗(Bhaskana)(1114~1185年)的著作中。我国在数论上的又一杰作是大衍求一术，即现代通称的中国剩余定理，用现代术语相当于一组同余式的解法。大衍求一术初见于宋时秦九韶1247年的《数书九章》一书，但其来源则是天文历法中的上元积年计算问题，且从汉以来历代的历法中均有一条颇为清晰的发展路线。至秦书时则不仅有详细的算法，还把应用推广到历法计算以外的河堤修筑。财物计算、租税分配、谷物出售、军队计点、土木建筑等问题上，甚至还有一个盗窃追赃的案例。现代解决这一同余式问题通常限于各同余式诸模数两两互素的情形。方法是先将诸模数分解成素因子的乘积，并求出其欧拉数，最后得出所求的解。因为分解因子比较繁难，所以对于秦书诸题中出现的天文数字般的大数，这种方法由于计算量的庞大，即使用现代的计算机要完成其计算也是不容易的。对于根本没有素数概念的中国传统数学，秦九韶却利用了求等的方法，首先将模数的一般情形化成模数两两无等即两两互素的情形，再用与求等类似的方法巧妙地得出其解法，这在世界数学史上也是很了不起的一举。当时计算用等，即使如此，对于有着天文数字般大数的各个问题，也都轻易地获得了答案。秦书中并记载了所有计算过程的详章。 (二)代数学的蓬勃发展代数学是中国传统数学中又一个值得骄傲与自豪的领域。与现代理解的代数学有所不同，它完全可以等同于方程求解。而且，即使是方程，着眼点也是求出解答，至于解答的存在唯一、解答的性质、解答与系数间的关系以及解答可否用系数的开方式来表示一类问题，都非关注所在。早在《九章算术》中，第八方程章全章就是线性联立方程组的解法。依刘徽注：“并列为行，故谓之方程。”又说：“令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”当时以筹作算，依题意将数据按物数排成各行，然后进行运算。《九章算术》中还载有某些具体实例的详细计算过程，完全类似于现在的所谓矩阵运算与消去法。列方程时需要相当于移项一类的手续，因此引进了负数以及相当于正负数加减运算法则的正负术。刘徽在注中又引入了新术与又术，对同一问题还指出了不同方法的不同计算步数以相互比较算法的复杂程度。中学教科书解线性方程组的消元法，最早即见之于《九章算术》。在现代，这种解法通称为高斯消元法。它的最早来源是高斯在1826年所著的关于天文观测误差估计的一篇文章，文中提到的线性方程组具有特殊形式。此外，Cramer在1750年也曾发现过后来以他命名的公式。有趣的是Cramer发现在前而高斯在后。而且，在计算机发展的早期，一位计算机科学家曾撰文举例指出：在计算机上求解一个26个未知数的线性方程组，如果用Cramer方法需时将近107年，而用消去法则3秒钟就够了。以Cramer法则与中国传统数学中的消去法相比较，一尚优美，一尚实效，两者旨趣各异，代表了两种不同的风格。这样的例子并不少见。从勾股术求弦需要开平方，这相当于解一个最简单形式的二次方程。在中国古籍中历来称解方程为开方，可能即导源于此。《九章算术》中不仅有开平、立方的详细算法，并有一题涉及较一般形式的二次方程，称为开带从平方。约在三国时期赵爽的现存残文中即有解一般二次方程的痕迹。南北朝祖冲之，按《隋书》有开差幂、开差立之设，称为“算氏之最”，有可能是开带从立方即解某种形式三次方程的方法，可惜已完全失传。唐初王孝通的《缉古算经》则是关于三次方程的专门著作。我国传统数学以解决问题为主要目标，对方程的要求是求出数值解答，而不在形式上的一般公式。而后者据近代的数学研究本来就是无法实现的。王孝通的著作在说明如何对诸问题列出三次方程后，求具体答案只用“开立方除之”一语带过。由此可以想见，三次方程的数值求解问题已为当时仕人所熟知，故已不必多加辞费。此外，在历法与河防的典籍中，也出现过需要求解三次或四次方程的问题。至宋代，出现贾宪“增乘开方”、刘益“正负开方”等术，到秦九韶已完成了一般方程的数值解法。笔者在袖珍计算器上依据这一方法解高至五次的方程，其效率是极为显著的。宋元时期天元一概念的引入以及天元术的创立，是我国传统数学的又一重大成就。天元一即是现在的未知数。这一概念的引入提供了依题意建立方程的简便而系统的方法，较之旧法“省功数倍”。由此逐步发展至元朱世杰的四元术，已可解多至四个未知数的高次联立方程组。由于当时用筹算，方程各不同类型项的系数须布置在算盘的特定位置来进行运算，因而未知数的个数只能限于四个。如果改用纸笔运算，则四个未知数的限制完全可以打破。至于原来四元术的原理与方法，则仍可以适用于解任意多个未知数的高次联立方程组。在近代，解高次联立方程组的方法直到近一二十年才有重大进展。据笔者所知，在去年曾出现过一些文章，对当前某一最有成效的方法加以改进，并在计算机上进行了试验。其中至少有两个经过不同改进看来很简单的方程组，竟然在计算器上有一个未能解出，另一个也要动用计算机很大容量和花费很长时间才能勉强算出。笔者依据本人创立的方法，对这两个方程组在一些小得多的机器上即可容易地求解。这里所谓本人创立的方法，实质上无非是朱世杰四元术的现代化推广形式。上述两个方程组论次数不过二三次，论未知数或方程个数也只有三个(附带若干个参数，其中一个方程组只有一个参数)，鉴于朱世杰著作中就出现过有三个未知数高至三次的方程组，可以想见中国古代算家着眼解题，重视实效，其思想之深邃与效率之高是为一般人所难以想像的。 别具一格的几何学几何学乃是中国传统数学中最不为人所理解的一个领域。其根本原因是人们对欧几里得几何已经先入为主，而我国古时的几何却与欧几里得几何大相径庭，有着一个迥然不同的体系。与欧几里得几何不同，我国传统几何从来不考虑平行线的问题。与之相反，以垂直性为其特征的勾股形，在我国古代几何学的研究中却始终占据着中心位置。数学概念来自现实世界。过直线外一点可以作几条平行线的问题，至少在当时的现实经验看来是近于“无病呻吟”毫无意义的。对于重视解决实际问题的中国古代算家来说，完全排除这一类考虑是理所当然的。与欧几里得几何不同，我国古代几何极少考虑角度，而把距离与长度放在首要地位。如果考虑到现代黎曼几何的从无限小距离ds2出发，可以导出角度的概念与性质，则中国古时把距离的位置置于角度之上也就不足为奇了。对欧几里得几何来说最有代表性的是它首次建立了在公理系统基础上的演绎体系，成为现代数学的一种典范，这在多方面具有重大意义。但也不能不注意到，这种体系与方法即使在纯粹数学的研究中，其作用也是颇有局限性的。就是对几何学来说，公理系统的建立也基本上局限于初等几何。对于现代研究中极为活跃的代数几何与微分几何，并没有什么公理系统。拓扑学虽然出现过某些成功的公理系统，但拓扑学中的重大成果，并非单纯地从这些公理系统经过逻辑推导而得。现代数学家们已经严格证明，要单纯地从某一公理系统出发去 证明系统中的定理，不仅实际上难以做到，在理论上也无此可能。中国的传统几何历来遵循着与欧几里得几何完全不同的发展道路，有着自己的问题与方法，以及自己的理论体系。首先，我国古代几何重视的是实际问题的解决，因而测量、面积、体积以及圆周率等都是几何学研究的中心问题。对于圆周率知者甚多，可以置之不论。对于测量，则由于我国古时重距离而不重角度，因而所用仪器与方法与西方大不相同。至迟在汉初，我国即已出现用距离两测以测角的方法求得太阳高度这样的困难问题。至三国刘徽，更发展成一般的重差方法，所著《海岛算经》包括了多种复杂测量的漂亮公式。即使在现代，要设计某种测量方案以获得答案，恐怕也不是那么轻而易举的。 我国古代几何成就中最值得骄傲的是体积理论。欧几里得体系以许多定义与公理为出发点，然后据此进行逻辑推理求体积。与之不同，我国古代几何着眼于总结经验，综合事实，提炼出几条普遍而平凡的一般原理，然后用逻辑推理推导出多种多样求体积的结果来。这种方法正与整个经典力学可以建立在三条牛顿定律上者相类似。在这种思想指导下，在三国时期刘徽与赵爽的著作中即已出现了出入相补原理。据此即可建立测量理论与多角形的面积理论。开平、立方的算法以及勾股形三边整数比公式的证明也都奠基于这一原理。《海岛算经》诸公式形式奇特，其证明早已失传，但依据出入相补原理可以轻而易举地推导出这些公式。如果用那种添平行线甚至用三角术等方法来证明，则不仅违背历史，尽失古意，还要费不少心机才能迂迴曲折地求得那些公式。多面体的体积比之多角形的面积是一个艰深的问题。依据现代的数学研究，当时要建立体积理论，不可避免地要引入相当于今日极限、连续这类的概念，因之与面积理论有本质上的区别。我国古代算家敏锐地认识到这一点，并由刘徽予以彻底解决。刘徽依据任意多面体由某些基本形体阳马、鳖臑等拼合而成，并从长方体的解体剖析，通过极限过程建立了“阳马居二、鳖臑居一，不易之率也”这一二比一原理。这一原理与出入相补原理相结合，即可奠定多面体体积理论的基础，并正如《九章算术》所示，可容易地获得各种多面体的体积公式。整个理论简单优美，与古希腊处理同类问题用穷竭法之拖沓繁琐者相比，优劣判然。这是我国古代几何学的一项杰作。曲体特别是球体的体积，显然不能仅仅用上面两个原理来解决。刘徽指出了某一特异曲体所谓“牟合方盖”在这一问题中的作用以及解决整个问题的途径。后终于在南北朝时由祖冲之之子祖暅提炼出“缘幂势既同，则积不容异”这一原理以作为求曲体体积的基础，并且彻底解决了球体体积问题。我们称这一原理为刘祖原理。至17世纪时，它又为意大利Cavalieri所重新发现而被称为Cavalieri原理，成为微积分得以建立的基石之一。 结束语数学是一门研究现实世界中的空间形式与数量关系，即研究数与形的科学。几何学致力于形的研究，因而也可称为形学。欧几里得几何脱离形来自现实世界的实质，而着眼于抽象出来的概念与性质及其相互间的逻辑关系。与之相反，我国古代几何的对象都直接来自现实世界，问题也大都来自实际需要。欧几里得几何形数脱节，实际上排斥了数量关系。与之相反，在我国几何学的整个发展过程中，始终形数合一，互助互益。开平、立方与解二次方程，都以出入相补原理为其几何背景，即其一例。宋元之际，引进了天元一的概念。各种几何量都用天元一的格式表达。这种表达式相当于现代的多项式。几何问题变为求解方程组的问题。四元术更发展了导源于《九章算术〉方程术的消元法，使多至四个方程组可逐步化为只有一个未知数的方程以逐一求解。这种几何的代数化为解析几何的出现迈出了重要的、也是决定性的一步。解析几何的创立者Descartes，有一篇直到死后才刊印的未完成著作《指导思维方向的法则》(《Rules for the direction of the mind>)。在这一著作中，Descartes拟议了一个解决问题的普遍方法，期望它能适用于一切类型的问题。其方法大致如下：第一步，把任一问题化为一数学问题；第二步，把任一数学问题化为一代数问题；第三步，把任一代数问题化为一解单独一个方程的问题。Descartes还提出应按照未知数的个数建立同样多的方程，而每一方程都是某一多项式等于零的形式。显然，Descartes的计划过于宏伟也过于粗疏，事实上无法做到。可能正因为如此，Descartes没有完成他的《指导思维方向的法则〉这一著作，但却从这一宏伟计划中抽出一部分来写成了他的不朽之作《方法论》，并在附录中阐述了现在被称作解析几何的概念与方法。顺便指出，这一附录中还没有引进坐标，线段也不分正负，因而实质上只是一种有系统的几何代数化方法，至于Descartes这些著作对整个科学特别是数学的重要影响，则已是尽人皆知的事了。回顾我国从秦汉到宋元间数学发展的历程，可谓我国传统数学所走过的道路正好与Descartes的计划若合一契；反过来，Descartes的计划，也无异于为中国传统数学作了一个很好的总结。中国传统数学的成就决不止于上述内容，但由于篇幅所限，更由于笔者知识所限，对其他成就将不再论述。我们崇拜中国传统数学，绝非是泥古迷古，为古而古。复古是没有出路的。我们的目的不仅是要显示中国古算的真实面貌，也不仅是为了破除对西算的盲从，端正对中算的认识，我们主要的也是真正的目的，是在于古为今用。数学在中国古时历来称为算术。这正好反映了中国古算构造性、计算性与机械化的特色。数学不仅为了应用，即使为了在纯数学范畴内获得具体结果，也一不能无算，二必须有术。对于概念与概念之间逻辑关系的认识，不仅在过去而且在将来都起着重要作用。但也不能不有所警惕，追求过甚不无有陷入推理游戏甚至数字游戏的危险。算术两字，决非对数学的卑词。试对17世纪数学上的两大成就解析几何与微积分略加分析：解析几何为使欧几里得式的几何证明化为中国传统数学的计算方式开辟了道路，无非是把几何化为算术的一种方法。微积分按西文名词不妨直译为无穷小算法。在牛顿与莱布尼茨之前作为微积分的先驱者瓦尔利斯(Wallis)的一部著作，其名称直截了当就叫做《无穷的算术》。由于计算机的出现，算术化的倾向在近代数学中的作用也日益显著，越来越为人们所认识。不少著名的数学家，近年来纷纷转向于计算机代数、计算性几何一类新兴学科。中国古代算术的思想与方法，正好与近代计算机的使用融合无间，也必将因此而重返青春，以另一种崭新面貌在未来的数学发展中扮演重要角色。究竟它将占据何种地位，笔者不拟妄作预测，但愿以二语作结：事在人为，还看今朝。
在古代，研究自然科学的往往是不缺吃喝的达官贵人，一般的百姓还在为生存发愁，哪有精力和财力去研究呢？
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